Se
expresan, en forma binómica, a la expresión a+bi. El valor i es el número
imaginario y tiene el valor √-1 es decir, i2 = -1. En este conjunto
de números la parte correspondiente a “a” es la parte real, y la
correspondiente a “b” es la parte imaginaria. Es signo de suma que separa las
dos partes del número cumple esa única función de separar.
Un
número complejo se suele representar por la letra z y el conjunto de todos los
números complejos por C.
Cuando
el número complejo tiene esta forma 0+bi
es decir la parte real es 0 a este número se le llama imaginario puro. Cuando
ocurre al revés y es b la que toma el valor 0 lo que obtenemos es un número
real.
-
Dos
complejos son iguales cuando tienen iguales sus dos componentes y recíprocamente.
a+bi = c +di (a = c y b = d)
-
La
suma de números complejos (a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b + d)i, la suma de
números complejos cumple las mismas propiedades que la suma de números reales; conmutativa,
asociativa, existe elemento neutro 0 = 0+0i
de forma 0+z = z, existe el elemento opuesto de z que es -z = -a-bi de forma
que la suma z y -z es el elemento neutro.
-
El
producto de números complejos: (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i, el
producto de números cumple las mismas propiedades que el producto de números
reales: conmutativa, asociativa, existe elemento neutro
1 = 1 + 0i, existe el
elemento inverso de z que es z-1 de forma que z-1 z = 1 +
0i.
- El
inverso de un número complejo se calcula:
z-1
+
i
- La división de
números complejos: dados z1 y z2 (dos
números complejos):
z1 / z2 = z1 · z2 -1
Los
números complejos pueden escribirse en forma de modulo y argumento de tal forma
que podemos definir también el conjugado de un número complejo z = a+bi se define
como el complejo que tiene la misma parte real de z pero la parte imaginaria
opuesta de z, es decir z = a-bi y z · z (conjugado)
=
.
Dado
un número complejo z = a+bi, su modulo (|z|) será: |z| = √
,
con lo cual se cumple que:
|z|2 =
=
z ·
z (conjugado)
Y
también se cumplirá que los módulos del número complejo z y su conjugado serán
iguales.
Por
último para poder escribir el número complejo como modulo argumento nos hace falta
calcular el argumento. Pues bien, el argumento de un número complejo se calcula
en función del valor absoluto de la parte real e imaginaria,
es decir,
α = arctan |b| |a|
Entonces obtenemos el argumento con la siguiente regla:
-
Si el número complejo está en el primer cuadrante, arg (z) = α.
-
Si el número complejo está en el segundo cuadrante, arg (z) = pi
- α.
-
Si el número complejo está en el tercer cuadrante, arg (z) =
pi + α ó α - pi
.
- Si
el número complejo está en el cuarto cuadrante, arg (z) = 2
pi - α ó -α.
