Unidad 2 Números complejos

Se expresan, en forma binómica, a la expresión a+bi. El valor i es el número imaginario y tiene el valor √-1 es decir, i² = -1. En este conjunto de números la parte correspondiente a “a” es la parte real, y la correspondiente a “b” es la parte imaginaria. Es signo de suma que separa las dos partes del número cumple esa única función de separar.

Un número complejo se suele representar por la letra z y el conjunto de todos los números complejos por C.

Cuando el número complejo tiene esta forma  0+bi es decir la parte real es 0 a este número se le llama imaginario puro. Cuando ocurre al revés y es b la que toma el valor 0 lo que obtenemos es un número real.

-       Dos complejos son iguales cuando tienen iguales sus dos componentes y recíprocamente. a+bi = c +di  (a = c y b = d)

-       La suma de números complejos (a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b + d)i, la suma de números complejos cumple las mismas propiedades que la suma de números reales; conmutativa,  asociativa, existe elemento neutro 0 = 0+0i de forma 0+z = z, existe el elemento opuesto de z que es -z = -a-bi de forma que la suma z y -z es el elemento neutro.

-       El producto de números complejos: (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i, el producto de números cumple las mismas propiedades que el producto de números reales: conmutativa,  asociativa, existe elemento neutro 1 = 1 + 0i,  existe el elemento inverso de z que es z^-1 de forma que z^-1 z = 1 + 0i.

-       El inverso de un número complejo se calcula:

z^-1  + i

-       La división de números complejos: dados z₁ y z₂ (dos números complejos):

z₁ / z₂ = z₁ · z₂ ^-1

Los números complejos pueden escribirse en forma de modulo y argumento de tal forma que podemos definir también el conjugado de un número complejo z = a+bi se define como el complejo que tiene la misma parte real de z pero la parte imaginaria opuesta de z, es decir  z = a-bi y z · z (conjugado) =  . 

Dado un número complejo z = a+bi, su modulo (|z|) será: |z| = √ , con lo cual se cumple que:

|z|² = = z · z (conjugado)

Y también se cumplirá que los módulos del número complejo z y su conjugado serán iguales.

Por último para poder escribir el número complejo como modulo argumento nos hace falta calcular el argumento. Pues bien, el argumento de un número complejo se calcula en función del valor absoluto de la parte real e imaginaria, es decir,

α = arctan |b| |a|

Entonces obtenemos el argumento con la siguiente regla:

-       Si el número complejo está en el primer cuadrante, arg (z) = α.

-       Si el número complejo está en el segundo cuadrante, arg (z) = pi  - α.

-       Si el número complejo está en el tercer cuadrante, arg (z) = pi + α ó α - pi  .

-       Si el número complejo está en el cuarto cuadrante, arg (z) = 2 pi - α ó -α.

Evidencia 2 (OP) Unidad 1 Conjuntos númericos

Aquí se presenta un resumen de la unidad 1 del open course que estoy haciendo, ver todos los videos y hacer las actividades del open course más este resumen me ha costado unas 3 horas.

Los números surgen de la necesidad histórica del hombre de contar. Según las necesidades que van surgiendo a lo largo de la historia se van inventando los números que hacen posible realizar las operaciones matemáticas que somos capaces de resolver hoy en día. A partir de ahí se agrupan los números por conjuntos:

-          El conjunto de los números naturales son los números desde 1 asta el infinito, en positivo. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…∞}.

-          El conjunto de los números enteros son todos los números, desde el 0 asta el infinito en positivo y en negativo, Z = {-∞… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… +∞}.

-          El conjunto de los números racionales, es el conjunto de todos los números que pueden escribirse como una fracción. Numerador/ denominador = cociente.

-          El conjunto  de los números irracionales: son todos los números decimales que no se pueden expresar como fracción ya que no tienen periodicidad en su parte decimal. Dos ejemplos de números irracionales son el numero √3, y el número e.

-          El conjunto de los números reales, es la unión de todos los números racionales y los irracionales.

Cada conjunto numérico tiene sus propias propiedades:

Suma	Propiedad	Producto
(a+b)+c = a+(b+c)	Asociativa. Todos los conjuntos numéricos.	(a·b)·c = a·(b·c)
a+b = b+a	Conmutativa. Todos los conjuntos numéricos.	a · b = b · a
a+0 = 0+a = a	Elemento neutro. Todos los conjuntos numéricos.	a·1 = 1·a = a
-a à el opuesto de a –(a)+a=0. *Números enteros.	Elemento simétrico. Solo los conjuntos de los números…*	1/a à el inverso de a a·1/a = a/a = 1 *Números racionales

 

Distributiva del producto respecto de la suma:

a · (b+c) = a·b + a·c

 

Identidades notables:

El cuadrado de la suma. (a+b)² = a² + b² +2ab

El cuadrado de la diferencia. (a-b)² = a² + b² -2ab

Suma por diferencia. (a+b)· (a-b)= a² - b²

Unidad 0 open course Ignacio Mengual Pérez #EPSO

¡Hola! Hoy me he estado dedicando a hacer horas del open course que elegí, hacer esta unidad me ha costado 2 horas. He completado la Unidad 0 Terminología y Conceptos básicos. En esta unidad he aprendido notación matemática:

-          : ó ∕ : tal que

-          ≥, ≤: mayor o menor que, o igual.

-          ∩: intersección.

-          ∪: unión

-          ⊂: estar contenido en, si llevara una raya debajo (⊆) podría ser igual también.

-          ∊: pertenece a (si estuviera tachado querría decir no pertenece a).

-          ∃: Existe, si llevara una exclamación detrás (∃!) sería existe y es único.

Y la definición de conjunto (colección de objetos distintos, los objetos dentro de un conjunto se llaman elementos). Para nombrar los conjuntos se utilizan las mayúsculas y para nombrar los elementos minúsculas. Por último decir que dentro de los conjuntos los elementos no se ordenan  y se escriben dentro de estas llaves { }. También hemos visto conceptos relacionados con los conjuntos como:

-          Igualdad: dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. En grandes conjuntos se realiza un Diagrama de Venn que representa el conjunto más visualmente englobando en dos círculos los dos conjuntos dejando los elementos iguales englobados por los dos círculos y los diferentes englobados solo por el círculo de su conjunto.

-          Inclusión y subconjuntos. A ⊂ B esto quiere decir que A es un subconjunto de B o que A está contenido en B