Unidad 2 Números complejos

Se expresan, en forma binómica, a la expresión a+bi. El valor i es el número imaginario y tiene el valor √-1 es decir, i² = -1. En este conjunto de números la parte correspondiente a “a” es la parte real, y la correspondiente a “b” es la parte imaginaria. Es signo de suma que separa las dos partes del número cumple esa única función de separar.

Un número complejo se suele representar por la letra z y el conjunto de todos los números complejos por C.

Cuando el número complejo tiene esta forma  0+bi es decir la parte real es 0 a este número se le llama imaginario puro. Cuando ocurre al revés y es b la que toma el valor 0 lo que obtenemos es un número real.

-       Dos complejos son iguales cuando tienen iguales sus dos componentes y recíprocamente. a+bi = c +di  (a = c y b = d)

-       La suma de números complejos (a + bi)+(c + di) = (a + c) + (b + d)i, la suma de números complejos cumple las mismas propiedades que la suma de números reales; conmutativa,  asociativa, existe elemento neutro 0 = 0+0i de forma 0+z = z, existe el elemento opuesto de z que es -z = -a-bi de forma que la suma z y -z es el elemento neutro.

-       El producto de números complejos: (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i, el producto de números cumple las mismas propiedades que el producto de números reales: conmutativa,  asociativa, existe elemento neutro 1 = 1 + 0i,  existe el elemento inverso de z que es z^-1 de forma que z^-1 z = 1 + 0i.

-       El inverso de un número complejo se calcula:

z^-1  + i

-       La división de números complejos: dados z₁ y z₂ (dos números complejos):

z₁ / z₂ = z₁ · z₂ ^-1

Los números complejos pueden escribirse en forma de modulo y argumento de tal forma que podemos definir también el conjugado de un número complejo z = a+bi se define como el complejo que tiene la misma parte real de z pero la parte imaginaria opuesta de z, es decir  z = a-bi y z · z (conjugado) =  . 

Dado un número complejo z = a+bi, su modulo (|z|) será: |z| = √ , con lo cual se cumple que:

|z|² = = z · z (conjugado)

Y también se cumplirá que los módulos del número complejo z y su conjugado serán iguales.

Por último para poder escribir el número complejo como modulo argumento nos hace falta calcular el argumento. Pues bien, el argumento de un número complejo se calcula en función del valor absoluto de la parte real e imaginaria, es decir,

α = arctan |b| |a|

Entonces obtenemos el argumento con la siguiente regla:

-       Si el número complejo está en el primer cuadrante, arg (z) = α.

-       Si el número complejo está en el segundo cuadrante, arg (z) = pi  - α.

-       Si el número complejo está en el tercer cuadrante, arg (z) = pi + α ó α - pi  .

-       Si el número complejo está en el cuarto cuadrante, arg (z) = 2 pi - α ó -α.